Геометрическая прогрессия в русских задачах

                     Геометрическая прогрессия в русских задачах

Примеры различных задач на применение свойств геометрической прогрессии из русских исторических сборников. 

 

Эти задачи из старинного учебника «Арифметика» Л.Магницкого.

Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель раздумал ее купить из-за того, что считал лошадь таких денег не стоит. Тогда продавец предложил другие условия: «Купи только подковные гвозди, а лошадь получишь бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего1∕4 копейки, за второй-1∕2 копейки, за третий-1 копейку и т. д.»

Покупатель, соблазненный низкой ценой, принял условия продавца.

На сколько покупатель проторговался?

РЕШЕНИЕ:

в1=1∕4,

в2=1∕2,

в3=1.

Если в каждой подкове по 6 гвоздей, то всего их 24. Значит, нужно найти S24

S24 = ((2)22-1)/(2-1)+0,25+0,5=4194303,75 =42 тыс.рублей

Ответ: 42 тыс.рублей.

 

 

 

Волшебное дерево…

 

Волшебное дерево, первоначальная высота которого 1 м, каждый день увеличивает свою высоту в 2 раза. При этом через 36 дней оно “достанет” до Луны. Значит, высота дерева на 36 день – 2³⁶м.

Если бы его высота в начальный момент времени была 8м, то 8·2ⁿ=2³⁶; 2³·2ⁿ =2³⁶; 2ⁿ =2³⁶; n=33.

Через 33 дня дерево достало бы до Луны, если бы его высота в начальный момент времени была 8 м.

 

По сообщению «Газеты чиновника» от 01.01.01 г. У мирового судьи г. Новочеркасска разбиралось дело о продаже стада 20 овец по условию-уплатить за первую овцу 1 копейку, за вторую 2 копейки, за третью 4 копейки и т. д..

РЕШЕНИЕ:

2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048+…+524288= 1048575

S20 = ((2)20-1)/(2-1) =1048575 =10485,75 рублей

Ответ: 10485,75рублей

 

Эти задачи из старинного русского учебника математики, носящего странное заглавие: «Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Шкык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в Математике» (1795).

Служившему воину дано вознаграждение: за первую рану 1 копейку, за другую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т. д. По исчислению воин получил вознаграждение в сумме 655 рублей 35 копеек. Спрашивается число его ран.

РЕШЕНИЕ:

в1=1, в2=2, в3=4

Sn=655, 35

q=2, Sn=2п-1=65535

2п=65536

Ответ: n=16

 

Богач-миллионер возвратился из отлучки необычайно радостный: у него была по дороге счастливая встреча, сулившая большие выгоды. Рассказывает он домашним: « Вот и на мою деньгу денежка бежит. Повстречался мне в пути незнакомец, из себя не видный. Предложил выгодное дельце, что у меня дух захватывает».

«Сделаем,- говорит,- такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Недаром, разумеется, но плата пустяшная. В первый день я должен по уговору заплатить –смешно вымолвить – всего одну копейку. А за вторую сотню тысяч-2 копейки. И так целый месяц, каждый день вдвое больше предыдущего.

РЕШЕНИЕ:

Богач-миллионер заплатил незнакомцу:

S30=230-1==руб23коп=11миллионов рублей.

Незнакомец заплатил богачу:

30∙100тыс =3000 тыс =3000000 рублей.

Ответ: убыток: 8000000 рублей.

 

Эта задача из «Сборника старинных занимательных задач по математике» Игнатьева Е.И.

Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тыс. руб., а взамен в первый день месяца богач должен был отдать 1 коп., во второй-2 коп., в третий-4 коп., в четвертый-8 коп. и т. д. в течении 30 дней. Сколько денег получил богач и сколько отдал? Кто выиграл от этой сделки?

Считают “мужик” и “купец”

“Мужик” заплатил: S30 = 100 000• 30 = 3 000 000 (рублей).

“Купец” заплатил: 1; 2; 4;… q=2/1=2.

S30 =1• (230 – 1):(2-1)= 2 30 -1= =1 073 741 824 -1 =1 073 741 823 (коп.) т.е. 10 738 418 руб.23коп

Ответ: 1 073 741 823 (коп.) т.е. 10 738 418 руб.23коп

 

         Суммированием геометрических прогрессий и составлением соответствующих, не всегда отвечающих практическим нуждам задач занимались многие любители математики на протяжении древних и средних веков.

 

          В древнерусском юридическом сборнике «Русская правда» содержаться выкладке о приплоде от скота и пчёл за известный промежуток времени. О количестве зерна, собранного с определённого участка земли и т.д. в некоторых из них вычисляется сумма геометрической прогрессии со знаменателем 2. Эти задачи, по видимому, не имели хозяйственного или юридического значения, а как и в других странах являлись результатом развития интереса любителей математики к математическому содержанию подобных задач, однако впервые задачи на прогрессии возникли из наблюдений за явлениями природы из исследования общественно-экономических явлений, к которым применим закон арифметической или геометрической прогрессии.